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代数拓扑的经典应用包括哪些呢？代数拓扑在物理中的应用一般都很浅，大多数情况只是使用到概念层面，很少用到代数拓扑深刻的定理。常见的概念有同伦群，同调群和上同调群。在场论中，这三个概念有各自常用的使用语境。同伦群：常见于刻画规范场位形的拓扑结构，最常见的就是刻画球面、环面或者欧几里得空间上的矢量丛的拓扑。比如涡旋、瞬子的等价类对应 和的矢量丛等价类，分别用 和来刻画。纤维丛的同伦恰当序列也常用于计算一些比较难算的同伦群，比如的高维同伦群。又如上规范反常的存在性可以归结为“无穷维规范变换群的基本群是否平凡”。同调群：同调群用得相对较少，用的时候也通常只用来表征目标流形有多少洞，或者对某些几何对象进行分类讨论。有了洞，就可以讨论非平凡的拓扑荷（拓扑通量）。比如的，就可以讨论磁单极子的整数磁通量，或者电荷慈磁荷量子化。利用奇异同调群与 Cech 上同调的关系，还可以用奇异同调群、Cech 上同调来分类流形上的线丛，或者更复杂的 gerbe（高级线丛）。Gerbe 在物理中出现在一般的 2d有 H-flux 的非线性 Sigma 模型，target space 受超对称数量要求具有 Bi-hermitian 结构，从而 target space 上定义了一个 gerbe。在2维拓扑非线性 Sigma 模型中，A-twist 的 BPS 位形是世界面到目标流形的全纯映射。由于世界面可能是任意的黎曼曲面，比如球面，因此就有各种不同的拓扑不等价的映射。刻画这些拓扑不等价的映射，就用映射所属同调类。上同调群：物理中用得最多的代数拓扑对象。
量子力学对称性？对称性的观点由来已久，并深刻影响了量子力学中常见的对称性有一些是普一代又一代的人。纵观物理学的发展，我们遍存在的基本对称性，有一些则是特殊系统可以看出，对称性已经成为人们提出新理论才具有的对称性。
量子力学中的时间均匀的指导原则和解决问题的途径。对称性总是性、空间均匀性、空间各向同性、全同粒子与美、和谐相联系的，经典力学展现出令人的交换对称性是普适的、严格成立的基本对震惊的和谐与对称，分别与空间平移对称称性；而空间反射不变性、时间反演不变性性，时间平移对称性、空间旋转对称性相联对大部分情况成立。
此外还有各种系统的各系的能量守恒定律，动量手恒定律和角动量种对称性，比如，中心场问题的空间旋转对守恒定律成了当时人们认识世界的“窗口” 。称性，谐振子的空间反演不变性。
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